Suono
La
causa delle sensazioni uditive, consistente in onde elastiche longitudinali
nell’aria, di intensità e frequenza appropriate: l’intensità deve superare la
cosiddetta soglia di udibilità, 
a 
e non superare la
cosiddetta soglia del dolore, 
a ; mentre la
frequenza deve essere compresa, all’incirca, tra 
e
.
Pressione acustica
La
propagazione di un’onda sonora in un fluido dà luogo a variazioni della
densità, della pressione e della velocità del fluido rispetto ai valori di
equilibrio. La pressione acustica 
è la fluttuazione di pressione
prodotta dall’onda sonora, e risulta pari a 
, dove 
è la pressione
totale in presenza di propagazione sonora e 
la pressione in assenza di
suono. Analogamente, mentre la densità del fluido in presenza dell’onda sonora
si può esprimere come 
con 
fluttuazione di
densità prodotta dall’onda sonora; la velocità 
del fluido è pari alla somma
della velocità del fluido imperturbato 
e delle fluttuazioni di
velocità 
prodotte
dal passaggio dell’onda.
Velocità del suono
Si definisce la velocità termodinamica del suono come
, (34)
dove
e
sono
rispettivamente pressione e densità imperturbata del mezzo. Poiché 
è valutata
nel limite 
, essa è una funzione
indipendente dal tempo o debolmente dipendente dal tempo (come è 
). Quando
un’onda acustica si propaga in un gas assimilabile ad un gas perfetto, si può
usare la legge adiabatica
, (35)
da cui si ottiene
. (36)
Usando
l’equazione di stato dei gas perfetti 
, dove 
è la costante
specifica dei gas e 
la temperatura in Kelvin, si
vede come la velocità del suono sia essenzialmente funzione solo della temperatura
. (37)
Intensità acustica
L’intensità
di
un’onda acustica rappresenta la potenza trasportata dall’onda sonora attraverso
un’area unitaria ortogonale alla direzione di propagazione. Comunemente con
intensità si intende la media temporale
dell’intensità istantanea 
:
(38)
dove
è
un opportuno tempo di media. E’ da sottolineare il carattere vettoriale
dell’intensità: l’intensità ha la direzione della velocità delle particelle
dell’onda acustica. Poiché le onde sonore sono longitudinali, ossia la velocità
delle particelle è nella stessa direzione di propagazione dell’onda, la natura
vettoriale dell’intensità viene spesso sottointesa e la relazione (38) viene
scritta come una relazione scalare riferendosi al modulo dell’intensità.
Nel caso di onde piane progressive
vale 
,
dove è
la pressione acustica e 
, come si vedrà in seguito, è
l’impedenza acustica.
Potenza acustica
La
potenza media 
trasportata da un’onda
acustica attraverso una superficie 
qualsiasi è il flusso del
vettore intensità attraverso la superficie
stessa
. (39)
Nel
caso di un’onda piana in un condotto di sezione trasversale costante, è uniforme
su una sezione trasversale di area ed è diretto ortogonalmente
ad ,
e quindi vale 
.
Impedenza acustica
Il
rapporto tra la pressione acustica ed il modulo della
corrispondente velocità delle particelle 
in un punto del mezzo nel
quale il suono si propaga è detto impedenza acustica del mezzo e si misura in 
; vale la
relazione (40)
. (40)
Nel caso di onde piane si dimostra che
,
dove 
,
e
,
sono
rispettivamente velocità e pressione di un’onda piana progressiva e di una
regressiva. Pertanto l’impedenza acustica per onde piane vale
. (41)
Equazione delle onde sonore
Equazione d’onda per la pressione acustica che descrive la propagazione del suono in un fluido lineare non dissipativo, valida anche per la propagazione in mezzi non omogenei nei quali la velocità del suono è funzione della posizione, come si ha nell’atmosfera:
. (42)
Decibel
Unità
di misura inizialmente introdotta nelle telecomunicazioni per esprimere livelli
relativi di potenza dei segnali, cioè rapporti fra potenze elettriche, e,
successivamente, usata anche per esprimere, genericamente, rapporti fra
grandezze omogenee e quindi, in particolare, attenuazioni ed amplificazioni in
temirni di tensione o di intensità di corrente. Per definizione, date due
grandezze 
e 
, il livello
relativo di rispetto a è, in 
, (43)
per
cui tale livello risulta positivo oppure negativo a seconda che sia
rispettivamente maggiore o minore di .
In acustica è l’unità di misura
logaritmica del livello sonoro, riferendo la potenza sonora a 
, la
pressione sonora a 
, l’intensità sonora
a
,
valori tutti che corrispondono alla soglia normale di udibilità per un suono
puro alla frequenza di . In particolare la (44)
definisce il livello di pressione acustica
, (44)
dove 
è il
valore efficace della pressione acustica nell’intervallo .
Onda piana
La
configurazione delle condizioni al contorno per cui, ad ogni istante, , ed hanno lo
stesso valore in tutti i punti di una superficie piana, detta fronte d’onda, è
detta di “onda piana”. Si approssimano bene come piane le onde che hanno percorso
una lunga distanza dalla sorgente senza incontrare ostacoli.
Soluzione generale dell’equazione
d’onda per un’onda piana che si propaga in direzione 
è una combinazione
di due funzioni arbitrarie, 
-onda progressiva- e 
-onda
regressiva-, dove 
è il generico vettore
posizione. Queste soluzioni rappresentano due onde di ampiezza costante che si
propagano nella direzione con velocità 
: il
“profilo dell’onda” trasla senza cambiare forma lungo con velocità 
o 
a seconda
che l’onda sia rispettivamente progressiva o regressiva.
Analizziamo il problema della
tramissione di un’onda piana progressiva che incide normalmente su una parete
immersa nel medesimo fluido di impedenza 
. Il coefficiente 
di
tramissione della potenza è il rapporto tra potenza trasmessa e incidente
(45)
Onda armonica piana
La
forma esplicita delle funzioni 
ed 
dipende dalle
condizioni ai limiti. Consideriamo un condotto di dimensioni trasversali
finite: un’onda piana può essere generata da una membrana piana che oscilla, di
moto armonico con frequenza angolare 
, nella direzione dell’asse
del condotto, posto coincidente ad 
.
Determiniamo
l’espressione della pressione acustica per 
con le seguenti condizioni:
1) La pressione a 
è 
.
2) Nella regione non ci sono
ostacoli riflettenti o altre sorgenti.
Per
la condizione 2) nella regione viene generata solo l’onda
progressiva che si propaga nella direzione positiva dell’asse . Poniamo
quindi 
e
.
Per soddisfare anche la condizione 1) deve valere la (46)
. (46)
Non
potendo disegnare l’andamento di in funzione di entrambe le
variabili spazio e tempo, immaginiamo prima di fissare un istante di tempo 
e di
rilevare simultaneamente i valori della pressione a diverse distanze dalla
sorgente. Si otterrebbe così un grafico della pressione in funzione della
posizione di tipo sinusoidale.
Alternativamente, si potrebbe
collocare un microfono di misura in una certa
posizione e osservare l’andamento della
pressione in quel punto al trascorrere
del tempo ,
ottenendo ancora un andamento sinusoidale della pressione.
E’ spesso conveniente rappresentare le funzioni sinusoidali mediante funzioni esponenziali di argomento complesso sottintendendo convenzionalmente che la funzione fisica reale è data dalla parte reale: in questa rappresentazione simbolica, le ampiezze sono in generale costanti complesse che includono eventuali fattori di fase costanti.
Analogia di Maxwell
Il controllo di suoni o rumori comporta la conoscenza, e a sua volta il controllo, dei fenomeni vibrazionali che li generano.
Il sistema vibrante più semplice è costituito da un sistema massa molla, come quello illustrato in figura, nel quale è incluso uno smorzatore viscoso in parallelo alla massa che tiene conto di tutte le possibili perdite interne del sistema.
Analogia tra elementi meccanici ed elementi di un circuito elettrico.
Indicando
con lo
spostamento della massa 
dalla posizione di
equilibrio, si consideri il caso in cui la massa sia sollecitata da una forza
sinusoidale 
e sia soggetta ad una forza
elastica di richiamo 
. Teniamo anche conto dei
fenomeni di dissipazione di energia per attrito, ipotizzando che la forza
dovuta a questi fenomeni sia proporzionale alla velocità della massa, sia cioè
esprimibile mediante l’espressione 
. L’equazione del moto del
sistema si può allora scrivere:
(47)
dove
è
la velocità di spostamento della massa .
L’equazione (48) esprime l’equilibrio delle tensioni elettriche in un circuito elettrico formato da una resistenza, un’induttanza e una capacità poste in serie tra di loro:
. (48)
L’analogia
fra circuito elettrico e sistema meccanico, detta analogia di Maxwell, si
verifica purché si faccia corrispondere alla corrente elettrica la
velocità di vibrazione , alla d.d.p 
la forza
motrice 
,
all’induttanza 
la massa , alla capacità 
la
cedevolezza meccanica (o complianza) 
e alla resistenza 
la
resistenza meccanica 
.
Poiché lo studio dei circuiti elettrici è assai consolidato e ben noto, è spesso conveniente estendere i risultati ottenuti per i circuiti elettrici equivalenti ai corrispondenti sistemi meccanici, utilizzando l’analogia elettromeccanica sopra descritta.
Esistono alcune regole pratiche che consentono di tracciare lo schema elettrico equivalente di un sistema meccanico: nei circuiti elettrici i bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente, mentre più bipoli in parallelo sono sottoposti alla medesima differenza di potenziale. Queste regole, tradotte in linguaggio meccanico secondo l’analogia di Maxwell, conducono a considerare in serie elementi meccanici (siano esse masse, cedevolezze o resistenze) ai quali compete la stessa velocità di vibrazione, mentre devono essere considerati in parallelo elementi sottoposti alla stessa forza motrice.
In
base a questi criteri, possiamo facilmente tracciare lo schema elettrico
equivalente del sistema meccanico in figura. Sia la massa sia gli estremi
liberi delle due molle vibrano con la stessa velocità , pertanto i tre
elementi del circuito equivalente vanno considerati in serie.
Sistema meccanico e circuito elettrico equivalente.
Leggi di Snell
In acustica le leggi di Snell descrivono le modalità di riflessione e rifrazione di un’onda sonora nella transizione tra due mezzi.
(I) (49)
(II) (50)
dove il significato dei termini è esplicato qui sotto in figura.
Onda incidente, riflessa e trasmessa sulla superficie di separazione tra due mezzi; con relativi angoli di incidenza, riflessione e trasmissione.