Potere fonoisolante: tesina gratuita

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Potere fonoisolante

Si definisce potere fonoisolante o transmission loss la seguente grandezza misurata in

(1)

che caratterizza le proprietà di una parete divisoria dal punto di vista della trasmissione del suono. è il coefficiente di trasmissione della potenza acustica ed equivale al rapporto fra la potenza dell’onda sonora trasmessa al di là della parete divisoria e la potenza dell’onda incidente. Assumendo un’onda piana progressiva che incide ortogonalmente su una parete circondata dal medesimo fluido si dimostra che , dove è il coefficiente di trasmissione della pressione acustica, ovvero il rapporto fra la pressione dell’onda sonora trasmessa e la pressione dell’onda incidente. Si ha dunque

. (2)

Nella seguente figura è rappresentato qualitativamente l’andamento complessivo del potere fonoisolante di una singola parete divisoria in funzione della frequenza dell’onda sonora incidente.

Curva rappresentativa dell’andamento del potere fonoisolante di una singola parete omogenea in funzione della frequenza.

Regione 1

In questa zona si nota dapprima un andamento decrescente del potere fonoisolante in funzione della frequenza (“effetto rigidità”) fino ad un minimo in corrispondenza della frequenza caratteristica (risonanza). Successivamente, dopo possibili minimi secondari, il potere fonoisolante aumenta linearmente, su scala logaritmica, con la frequenza (legge della massa).

La risonanza si spiega ricordando che la parete, a causa dei vincoli più o meno rigidi che ha ai bordi, presenta sempre un certo numero di modi normali di vibrazione, caratterizzati dal fatto che i corrispondenti valori della semilunghezza l’onda sono contenuti nelle dimensioni della parete stessa per multipli interi. Quando la frequenza del suono incidente è uguale a quella di uno dei modi normali, la parete entra in vibrazione e si ha il fenomeno della risonanza: la parete diventa sostanzialmente trasparente al suono ed il suo potere fonoisolante raggiunge un minimo. Al primo modo normale è associata la più importante frequenza di risonanza, , che, per pareti in muratura, è generalmente minore di 100 Hz. Come si vedrà in seguito, è proporzionale a , dove è la costante elastica della parete per unità di superficie ed la sua massa per unità di superficie. Nel seguito si assumerà sempre un piccolo smorzamento interno, cioè piccolo assorbimento della parete. E’ da notare che al crescere dello smorzamento i picchi di risonanza tendono ad appiattirsi.

Per spiegare l’andamento complessivo del potere fonoisolante nella Regione 1 consideriamo dapprima il problema della trasmissione di un suono che incide normalmente su una parete divisoria.

La legge di Newton per il moto di una parete vincolata ai bordi di massa , smorzamento e costante elastica , circondata da un fluido di impedenza acustica e sottoposta ad un campo sonoro è

(3)

dove , e sono rispettivamente le pressioni associate all’onda incidente, riflessa, trasmessa; è la superficie della parete, mentre ed sono la velocità di vibrazione e lo spostamento della parete, rispettivamente.

Isolamento acustico di una parete vincolata ai bordi.

Definendo le densità di superficie , e si può riscrivere

. (4)

Notando che lo strato di fluido immediatamente a sinistra della parete deve avere la stessa velocità della parete e anche la stessa velocità dello strato di fluido immediatamente a destra, deve essere . Ricordando che , le definizioni di e ( è il coefficiente di riflessione della pressione acustica, pari a ), e dividendo per , si ha

. (5)

Assumendo che l’onda incidente, riflessa e trasmessa sia di tipo armonico, cioè , , , e , l’equazione di moto diventa

, (6)

dove è l’impedenza acustica specifica della parete.

Come si vede nella (6) ’impedenza acustica specifica della parete ha la stessa forma dell’impedenza di un circuito risonante RLC dove la pressione totale netta agente sulla parete è equivalente alla tensione, la velocità di spostamento alla corrente, la massa specifica all’induttanza, la resistenza di smorzamento alla resistenza elettrica e l’inverso della costante elastica (complianza) alla capacità.

Dividendo la (6) per si ottiene infine

(7)

dove e sono i coefficienti di riflessione e trasmissione per la pressione.

Nell’approssimazione di piccolo smorzamento (), dalle relazioni (5) e (7) si ottiene per

(8)

dove è la frequenza di risonanza della parete dovuta alla propria massa ed elasticità.

L’andamento qualitativo di questa equazione è quello indicato nella Regione 1 della figura: troviamo sia la condizione di risonanza in corrispondenza alla frequenza (per cui e , cioè il suono si trasmette interamente attraverso la parete) che gli andamenti lineari fuori risonanza:

- Per vale , da cui e quindi .

Sostituendo si ottiene e quindi

. (9)

Se, come si verifica per molti materiali, è (nel caso dell’aria ), si trova la seguente relazione del potere fonoisolante nella zona dove domina l’effetto rigidità: . Il potere fonoisolante diminuisce di per ogni raddoppio di frequenza e, variando il materiale che costituisce la parete, aumenta al crescere della costante elastica . Questo effetto sarà dunque ben visibile nel caso di pareti sottili, molto rigide e di massa trascurabile.

- Per vale , da cui e quindi .

Sostituendo nell’espressione (2) del potere fonoisolante si ottiene la cosiddetta legge della massa per incidenza normale

. (10)

In analogia a quanto già trovato per , per si ha . Da quest’ultima si vede come il potere fonoisolante aumenti di per ogni raddoppio della massa per unità di area o per ogni raddoppio della frequenza .

Andamento del potere fonoisolante di una parete per incidenza normale.

La legge della massa assume espressioni leggermente diverse quando si suppone che l’onda sonora incida obliquamente sulla parete oppure quando si suppone che l’onda sonora sia ad incidenza casuale.

-->Potere fonoisolante di una parete divisoria per incidenza obliqua

Consideriamo sempre una parete o un pannello vincolato ai bordi.

Suono trasmesso attraverso un pannello di massa finita immerso in un mezzo.

Per possiamo trascurare le forze elastiche e, assumendo piccolo smorzamento (), in completa analogia al caso di incidenza normale otteniamo l’equazione (11) per il moto della parete:

. (11)

L’accelerazione del pannello si può esprimere come , e quindi

. (12)

Considerando ancora onde armoniche per cui e dividendo per si ha

(13)

che, messa a sistema con l’ancora valida (relazione (5)), fornisce l’espressione (14) per il coefficiente di trasmissione della pressione

. (14)

Ora, usando la (2), si ottiene l’espressione (15) per il potere fonoassorbente della parete

. (15)

Si nota immediatamente che per la (15) coincida con la legge della massa trovata per l’incidenza normale (relazione (10)), e che il valore del potere fonoisolante diminuisce nel caso di effettiva incidenza obliqua, cioè quando .

-->Potere fonoisolante di una parete divisoria per incidenza casuale

Il campo acustico in una stanza è meglio descritto come campo diffuso, cioè come insieme di onde sonore piane di stessa intensità media che viaggiano con uguale probabilità in tutte le direzioni.

In questo caso si può definire un coefficiente medio di trasmissione della pressione

(16)

dove è l’angolo solido, l’angolo di latitudine e quello di longitudine da cui è indipendente. Integrando su tutti gli angoli di incidenza fra e , cioè assumendo , si ottiene l’ espressione (17) del potere fonoisolante per incidenza “random”:

. (17)

Misure sperimentali sono però ben rappresentate dalla legge empirica : una spiegazione della sua maggiore affidabilità risiede nel fatto che l’integrazione fino a da troppo peso agli angoli prossimi all’incidenza radente, che non hanno in realtà un alto grado di probabilità.

Regione 2

A frequenze molto più grandi di () si nota una deviazione dalle leggi di massa, ed in particolare un’altra serie di risonanze dovute al cosiddetto “effetto coincidenza”.

Consideriamo il problema della trasmissione del suono attraverso una parete divisoria di spessore piccolo rispetto alla lunghezza d’onda del suono nel materiale della parete () quando l’onda acustica incide obliquamente.

Deformazione flessionale di un pannello dovuto a un’onda sonora che incide obliquamente.

Al propagarsi dell’onda i massimi ed i minimi di pressione si muovono lungo il pannello forzando la deformazione a muoversi lungo l’asse : in questo modo nel pannello si propaga un’onda “flessionale”.

Per un pannello di spessore la rigidità alla flessione si misura in ed è

(18)

dove è il modulo di Young (grandezza caratteristica di un materiale pari al rapporto tra la forza applicata sull’area di applicazione e l’allungamento relativo), e è il coefficiente di Poisson (pari al rapporto tra deformazione trasversale e deformazione longitudinale).

Altro parametro caratteristico del materiale è rappresentato dalla velocità di propagazione delle onde longitudinali nel pannello. In ogni direzione del piano del pannello si ha

(19)

dove è la densità superficiale di massa per millimetro di spessore.

L’equazione delle onde di flessione di un pannello libero da forze esterne derivanti dal fluido circostante, ossia non sottoposto ad alcun campo sonoro, è

(20)

dove è lo spostamento trasversale del pannello, ovvero lo spostamento lungo la direzione della figura, assunto funzione della sola . Cerchiamo soluzioni dell’equazione differenziale (20) che rappresentano onde armoniche che si propagano lungo , ovvero del tipo dove è la velocità di propagazione delle possibili onde di flessione. Sostituendo nell’equazione differenziale (20) si ha

(21)

e, ricordando le definizioni (18) e (19),

. (22)

La relazione di dispersione (22), che lega la velocità di propagazione dell’onda flessionale alla sua frequenza, sottolinea che sono possibili soltanto quelle onde armoniche flessionali che si propagano nel pannello con velocità .

Ora, se il pannello è immerso in un fluido nel quale si propaga un’onda incidente su di un lato del pannello occorre includere nell’equazione delle onde elastiche le forze dovute alle pressioni delle onde incidente, riflessa e trasmessa

. (23)

Procedendo inizialmente in modo analogo a quanto visto nel caso di pannello libero da forze esterne si ottiene

. (24)

L’elasticità del pannello non modifica la condizione di continuità per la velocità delle particelle, quindi è ancora valida la relazione (5), , che, combinata con la relazione (24), fornisce il seguente coefficiente di trasmissione della pressione

(25)

dove ( è la velocità dell’onda incidente) è la componente lungo la parete della velocità dell’onda incidente: quando essa coincide con la velocità , di propagazione del modo flessionale del pannello, il coefficiente di trasmissione diventa uguale ad ed il potere fonoisolante tende a . Questo effetto è chiamato “effetto coincidenza”.

A frequenze sufficientemente basse () l’espressione (25) si riduce all’espressione (14) per da cui si ottiene la legge della massa per incidenza obliqua (15), mentre ad alte frequenze le curve del potere fonoisolante salgono rapidamente al di sopra dei valori della legge della massa perché il moto del pannello è dominato dalla costante elastica piuttosto che dalla massa. Si è soliti caratterizzare la condizione di coincidenza con la frequenza alla quale avviene: ponendo si ha

; (26)

la più bassa frequenza alla quale si ha la coincidenza è per :

. (27)

Usando (26) e (27) si può infine scrivere il potere fonoisolante della parete, valido per , esplicitando la sua dipendenza dall’angolo di incidenza dell’onda sonora

. (28)

Metodo pratico per ricavare i valori del potere fono isolante

Per costruire il grafico che rappresenza l’andamento in funzione della frequenza del potere fonoisolante per una parete omogenea di ben definito materiale e spessore, si può iniziare tracciando la retta con pendenza che rappresenta l’andamento del potere fonoisolante secondo la legge della massa.


Mattoni	37	4.5	1.9
Calcestruzzo	28	4.5	2.3
Vetro	17	10	2.5
Compensato	19	6.5	0.78
Alluminio	29	11	2.66
Intonaco	30	8	1.71
Piombo	56	4	11.2
Acciaio	40	11	7.6

Conoscendo il tipo di materiale adoperato (vedi tabella qui sopra) si traccia poi una retta orizzontale a una quota corrispondente all’altezza del plateau caratteristica del materiale, che incontrerà la retta precedente, rappresentativa della legge della massa, in un punto A. Questo punto costituisce il limite di validità superiore per la legge della massa ed individua la frequenza che, moltiplicata per il rapporto delle frequenze , determina la frequenza del punto B, che insieme ad A individua sulla retta orizzontale il segmento sostitutivo del reale andamento del fenomeno di coincidenza. Alle alte frequenze il grafico viene completato con una semiretta con pendenza di circa spiccata a partire dal punto B.

Pareti composite

Quando la parete è composta da diversi elementi si assume che la potenza totale trasmessa sia la somma delle potenze trasmesse attraverso le singole parti della parete

(29)

dove , assunto in prima approssimazione pari a , è il coefficiente di trasmissione della potenza associato all’area .

Il potere fonoisolante composto risulta allora

. (30)

A titolo di esempio consideriamo una finestra di vetro spessa , di superficie totale (comprensiva di aperture) pari ad e con una zona aperta avente superficie . Per la superficie vetrata il valore del coefficiente di tramissione della potenza a è , mentre per la porzione aperta è evidentemente .

Il valore medio del coefficiente di tramissione per la finestra semiaperta si trova con la (29)

(31)

e quindi, usando la (30), il potere fonoisolante risulta

(32)

Se la finestra fosse completamente chiusa si avrebbe invece

(33)

Dal confronto dei risultati (32) e (33) si evince che lasciando la finestra aperta solo per il si ha una perdita del potere fonoisolante di ben .

Appendice

Suono

La causa delle sensazioni uditive, consistente in onde elastiche longitudinali nell’aria, di intensità e frequenza appropriate: l’intensità deve superare la cosiddetta soglia di udibilità, a e non superare la cosiddetta soglia del dolore, a ; mentre la frequenza deve essere compresa, all’incirca, tra e.

Pressione acustica

La propagazione di un’onda sonora in un fluido dà luogo a variazioni della densità, della pressione e della velocità del fluido rispetto ai valori di equilibrio. La pressione acustica è la fluttuazione di pressione prodotta dall’onda sonora, e risulta pari a , dove è la pressione totale in presenza di propagazione sonora e la pressione in assenza di suono. Analogamente, mentre la densità del fluido in presenza dell’onda sonora si può esprimere come con fluttuazione di densità prodotta dall’onda sonora; la velocità del fluido è pari alla somma della velocità del fluido imperturbato e delle fluttuazioni di velocità prodotte dal passaggio dell’onda.

Velocità del suono

Si definisce la velocità termodinamica del suono come

, (34)

dove e sono rispettivamente pressione e densità imperturbata del mezzo. Poiché è valutata nel limite , essa è una funzione indipendente dal tempo o debolmente dipendente dal tempo (come è ). Quando un’onda acustica si propaga in un gas assimilabile ad un gas perfetto, si può usare la legge adiabatica

, (35)

da cui si ottiene

. (36)

Usando l’equazione di stato dei gas perfetti , dove è la costante specifica dei gas e la temperatura in Kelvin, si vede come la velocità del suono sia essenzialmente funzione solo della temperatura

. (37)

Intensità acustica

L’intensità di un’onda acustica rappresenta la potenza trasportata dall’onda sonora attraverso un’area unitaria ortogonale alla direzione di propagazione. Comunemente con intensità si intende la media temporale dell’intensità istantanea :

(38)

dove è un opportuno tempo di media. E’ da sottolineare il carattere vettoriale dell’intensità: l’intensità ha la direzione della velocità delle particelle dell’onda acustica. Poiché le onde sonore sono longitudinali, ossia la velocità delle particelle è nella stessa direzione di propagazione dell’onda, la natura vettoriale dell’intensità viene spesso sottointesa e la relazione (38) viene scritta come una relazione scalare riferendosi al modulo dell’intensità.

Nel caso di onde piane progressive vale , dove è la pressione acustica e , come si vedrà in seguito, è l’impedenza acustica.

Potenza acustica

La potenza media trasportata da un’onda acustica attraverso una superficie qualsiasi è il flusso del vettore intensità attraverso la superficie stessa

. (39)

Nel caso di un’onda piana in un condotto di sezione trasversale costante, è uniforme su una sezione trasversale di area ed è diretto ortogonalmente ad , e quindi vale .

Impedenza acustica

Il rapporto tra la pressione acustica ed il modulo della corrispondente velocità delle particelle in un punto del mezzo nel quale il suono si propaga è detto impedenza acustica del mezzo e si misura in ; vale la relazione (40)

. (40)

Nel caso di onde piane si dimostra che , dove , e , sono rispettivamente velocità e pressione di un’onda piana progressiva e di una regressiva. Pertanto l’impedenza acustica per onde piane vale

. (41)

Equazione delle onde sonore

Equazione d’onda per la pressione acustica che descrive la propagazione del suono in un fluido lineare non dissipativo, valida anche per la propagazione in mezzi non omogenei nei quali la velocità del suono è funzione della posizione, come si ha nell’atmosfera:

. (42)

Decibel

Unità di misura inizialmente introdotta nelle telecomunicazioni per esprimere livelli relativi di potenza dei segnali, cioè rapporti fra potenze elettriche, e, successivamente, usata anche per esprimere, genericamente, rapporti fra grandezze omogenee e quindi, in particolare, attenuazioni ed amplificazioni in temirni di tensione o di intensità di corrente. Per definizione, date due grandezze e , il livello relativo di rispetto a è, in

, (43)

per cui tale livello risulta positivo oppure negativo a seconda che sia rispettivamente maggiore o minore di .

In acustica è l’unità di misura logaritmica del livello sonoro, riferendo la potenza sonora a , la pressione sonora a , l’intensità sonora a , valori tutti che corrispondono alla soglia normale di udibilità per un suono puro alla frequenza di . In particolare la (44) definisce il livello di pressione acustica

, (44)

dove è il valore efficace della pressione acustica nell’intervallo .

Onda piana

La configurazione delle condizioni al contorno per cui, ad ogni istante, , ed hanno lo stesso valore in tutti i punti di una superficie piana, detta fronte d’onda, è detta di “onda piana”. Si approssimano bene come piane le onde che hanno percorso una lunga distanza dalla sorgente senza incontrare ostacoli.

Soluzione generale dell’equazione d’onda per un’onda piana che si propaga in direzione è una combinazione di due funzioni arbitrarie, -onda progressiva- e -onda regressiva-, dove è il generico vettore posizione. Queste soluzioni rappresentano due onde di ampiezza costante che si propagano nella direzione con velocità : il “profilo dell’onda” trasla senza cambiare forma lungo con velocità o a seconda che l’onda sia rispettivamente progressiva o regressiva.

Analizziamo il problema della tramissione di un’onda piana progressiva che incide normalmente su una parete immersa nel medesimo fluido di impedenza . Il coefficiente di tramissione della potenza è il rapporto tra potenza trasmessa e incidente

(45)

Onda armonica piana

La forma esplicita delle funzioni ed dipende dalle condizioni ai limiti. Consideriamo un condotto di dimensioni trasversali finite: un’onda piana può essere generata da una membrana piana che oscilla, di moto armonico con frequenza angolare , nella direzione dell’asse del condotto, posto coincidente ad .

Determiniamo l’espressione della pressione acustica per con le seguenti condizioni:

1) La pressione a è .

2) Nella regione non ci sono ostacoli riflettenti o altre sorgenti.

Per la condizione 2) nella regione viene generata solo l’onda progressiva che si propaga nella direzione positiva dell’asse . Poniamo quindi e .

Per soddisfare anche la condizione 1) deve valere la (46)

. (46)

Non potendo disegnare l’andamento di in funzione di entrambe le variabili spazio e tempo, immaginiamo prima di fissare un istante di tempo e di rilevare simultaneamente i valori della pressione a diverse distanze dalla sorgente. Si otterrebbe così un grafico della pressione in funzione della posizione di tipo sinusoidale. Alternativamente, si potrebbe collocare un microfono di misura in una certa posizione e osservare l’andamento della pressione in quel punto al trascorrere del tempo , ottenendo ancora un andamento sinusoidale della pressione.

E’ spesso conveniente rappresentare le funzioni sinusoidali mediante funzioni esponenziali di argomento complesso sottintendendo convenzionalmente che la funzione fisica reale è data dalla parte reale: in questa rappresentazione simbolica, le ampiezze sono in generale costanti complesse che includono eventuali fattori di fase costanti.

Analogia di Maxwell

Il controllo di suoni o rumori comporta la conoscenza, e a sua volta il controllo, dei fenomeni vibrazionali che li generano.

Il sistema vibrante più semplice è costituito da un sistema massa molla, come quello illustrato in figura, nel quale è incluso uno smorzatore viscoso in parallelo alla massa che tiene conto di tutte le possibili perdite interne del sistema.

Analogia tra elementi meccanici ed elementi di un circuito elettrico.

Indicando con lo spostamento della massa dalla posizione di equilibrio, si consideri il caso in cui la massa sia sollecitata da una forza sinusoidale e sia soggetta ad una forza elastica di richiamo . Teniamo anche conto dei fenomeni di dissipazione di energia per attrito, ipotizzando che la forza dovuta a questi fenomeni sia proporzionale alla velocità della massa, sia cioè esprimibile mediante l’espressione . L’equazione del moto del sistema si può allora scrivere:

(47)

dove è la velocità di spostamento della massa .

L’equazione (48) esprime l’equilibrio delle tensioni elettriche in un circuito elettrico formato da una resistenza, un’induttanza e una capacità poste in serie tra di loro:

. (48)

L’analogia fra circuito elettrico e sistema meccanico, detta analogia di Maxwell, si verifica purché si faccia corrispondere alla corrente elettrica la velocità di vibrazione , alla d.d.p la forza motrice , all’induttanza la massa , alla capacità la cedevolezza meccanica (o complianza) e alla resistenza la resistenza meccanica .

Poiché lo studio dei circuiti elettrici è assai consolidato e ben noto, è spesso conveniente estendere i risultati ottenuti per i circuiti elettrici equivalenti ai corrispondenti sistemi meccanici, utilizzando l’analogia elettromeccanica sopra descritta.

Esistono alcune regole pratiche che consentono di tracciare lo schema elettrico equivalente di un sistema meccanico: nei circuiti elettrici i bipoli in serie sono attraversati dalla stessa corrente, mentre più bipoli in parallelo sono sottoposti alla medesima differenza di potenziale. Queste regole, tradotte in linguaggio meccanico secondo l’analogia di Maxwell, conducono a considerare in serie elementi meccanici (siano esse masse, cedevolezze o resistenze) ai quali compete la stessa velocità di vibrazione, mentre devono essere considerati in parallelo elementi sottoposti alla stessa forza motrice.

In base a questi criteri, possiamo facilmente tracciare lo schema elettrico equivalente del sistema meccanico in figura. Sia la massa sia gli estremi liberi delle due molle vibrano con la stessa velocità , pertanto i tre elementi del circuito equivalente vanno considerati in serie.