Nei metalli possiamo stimare la concentrazione di elettroni liberi calcolando il numero di atomi per unità di volume, per calcolare la concentrazione dei portatori nelle bande di energia di isolanti e semiconduttori dobbiamo invece conoscere

1)    La distribuzione in energia degli stati elettronici nella banda considerata

2)    La probabilità di ciascuno di questi stati elettronici di essere occupato

Il primo di questi parametri è cosiddetta densità degli stati , che può essere definita come il numero di stati elettronici aventi energia compresa in un intervallo unitario intorno ad . Si dimostra* che, per un isolante/semiconduttore, valgono le seguenti espressioni:

• In banda di conduzione  per , dove  è la minima energia della banda di conduzione
• In banda di valenza  per , dove  è la massima energia della banda di valenza

Il secondo parametro dipende dal fatto che gli elettroni, poiché fermioni, obbediscono alla statistica di Fermi-Dirac**, cioè la probabilità di occupazione  di uno stato elettronico di energia  è pari alla distribuzione di Fermi-Dirac

,

dove  è la costante di Boltzmann,  la temperatura ed  l’energia di Fermi, che per un metallo monovalente ideale è pari all’energia massima degli stati elettronici allo zero assoluto.

La concentrazione  degli elettroni che contribuiscono alla conduzione, cioè che sono in banda di conduzione, è pertanto

.

Sostituendo l’espressione esatta per  ed integrando si ottiene

dove  è la cosiddetta densità efficace degli stati in banda di conduzione.

Analogamente per le buche valgono le espressioni

,     .

*si veda paragrafo II.6.3 e capitolo II.7 di “Solid State Physics”, a cura di G. Grosso e G. Pastori Parravicini

**si veda appendice III.A e III.B di “Solid State Physics”, a cura di G. Grosso e G. Pastori Parravicini